Tentukan volume maksimum yang dimiliki oleh sebuah silinder tegak jika diletakkan didalam sebuah bola berjari-jari r meter.

Volume maksimum yang dimiliki oleh sebuah silinder tegak jika diletakkan di dalam sebuah bola berjari - jari r meter adalah [tex]\frac{4}{9} \: \sqrt{3} \: \pi \: r^3[/tex] m³

Pembahasan

MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM

Soal cerita matematika tentang masalah bangun ruang, yang berkaitan dengan nilai optimum (maksimum atau minimum) dapat diselesaikan dengan menggunakan turunan.

Langkah - langkah penyelesaiannya

1. Membuat gambar bangunnya lalu memberi variabel - variabel pada bangun tersebut.
2. Tuliskan rumus yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan dengan variabel yang sudah kita tuliskan.
3. Gantilah variabel dalam rumus sehingga hanya memiliki satu variabel yang bisa diturunkan.
4. Turunkan rumus dengan variabelnya dan hasil turunannya adalah nol.
5. Variabel yang ditemukan adalah pembuat nilai maksimum atau minimum pada rumus.
6. Bila yang ditanyakan nilai maksimum atau minimumnya masukkan nilai variabel ke rumusnya.

Turunan Aljabar

f(x) = k ⇒ f'(x) = 1

f(x) = kxⁿ ⇒ f'(x) = kn xⁿ⁻¹

f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f'(x) = g'(x) + h'(x)

f(x) = g(x) - h(x) ⇒ f'(x) = g'(x) - h'(x)

f(x) = u(x) . v(x) ⇒ f'(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)

f(x) = [tex]\frac{u(x)}{v(x)}[/tex]

⇒ f'(x) = [tex]\frac{u'(x).v(x) \:-\: u(x).v'(x)}{v^2}[/tex]

Diket:

r bola = r meter

Sebuah tabung berada di dalam bola.

Dit:

V maksimum tabung?

Penjelasan:

Pertama buat gambar bola dengan sebuah tabung di dalamnya.

Perhatikan lampiran.

AC adalah diameter bola.

AC = d

AC = r + r = 2r

BC adalah tinggi tabung, maka BC = t

AB adalah diameter alas tabung. Bila jari - jari alas tabubg adalah R, maka AB = 2R

Perhatikan segitiga ABC. Siku - siku di B, berlaku

AC² = AB² + BC²

(2r)² = (2R)² + t²

4r² = 4R² + t²

4r² - t² = 4R²

Bagi 4 supaya sederhana

R² = r² - 0,25t²

Yang akan dicari maksimumnya adalah volume tabung.

V tabung = π R² t

V = π (r² - 0,25t²) t

V = πt (r² - 0,25t²)

V = πr²t - 0,25 πt³

Turunkan terhadap variabel t

V' = 0

πr² - 0,25π × 3t² = 0

πr² - 0,75πt² = 0

πr² = 0,75πt²

r² = [tex]\frac{3}{4}[/tex] t²

Akarkan semuanya

r = [tex]\sqrt{\frac{3}{4} }[/tex] t

r = [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] t

[tex]r \: \frac{2}{\sqrt{3} } \:=\: t\\t \:=\: r \: \frac{2}{\sqrt{3} } \:\times\: \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} }\\t \:=\: \frac{2}{3} \sqrt{3} \: r[/tex]

Masukkan ke rumus V

[tex]V \:=\: \pi \: r^2 \: t \:-\: 0,25 \: \pi \: t^3\\V \:=\: \pi \: r^2 \: \frac{2}{3} \: \sqrt{3} \:r \:-\: 0,25 \: \pi \: (\frac{2}{3} \sqrt{3} \:r)^3\\V \:=\: \frac{2}{3} \sqrt{3} \: \pi \: r^3\:-\: 0,25 \: \pi \: \frac{8}{27} \: 3\: \sqrt{3}\: r ^3[/tex]

[tex]V \:=\: \frac{6}{9} \sqrt{3} \: \pi \: r^3\:-\: \pi \: \frac{2}{9} \: \sqrt{3}\: r ^3\\V\:=\: \frac{4}{9} \: \sqrt{3} \: \pi \: r^3[/tex]

Maka volume tabung maksimum adalah [tex]\frac{4}{9} \: \sqrt{3} \: \pi \: r^3[/tex] m³

Pelajari lebih lanjut

Nilai Maksimum Luas https://brainly.co.id/tugas/8710213

Nilai Maksimum Fungsi Trigonometri https://brainly.co.id/tugas/186738

Detail Jawaban

Kelas : XI

Mapel : Matematika

Bab : Turunan Fungsi Aljabar

Kode : 11.2.9.

Kata Kunci : Turunan, Fungsi Optimum, Mencari Nilai Maksimum Dengan Turunan